Método de Sarrus, Cramer y Determinante

 

MÉTODO DE CRAMER O DETERMINANTES

El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. El determinante de una matriz debe ser diferente de cero. El signo ∆ se denomina determinante.

Otra forma de calcular el determinante es por el método de Sarrus (cofactores), es seguir la siguiente operación en la matriz.

Los dos ejemplos que se hacen a continuación utilizan el método Sarrus.

Ejemplo # 1

Ejemplo # 2

Método Gauss

GAUSS(Para solucionar ecuaciones de 3*3 ó más)

http://es.scribd.com/doc/81311140/Metodo-Eliminacion-de-Gauss

En la dirección anterior encontraran un tutorial que les dará pautas para identificar cuando un sistema de ecuaciones es homogéneo, con solución única, con infinidad de soluciones o sin solución.

INVERSA DE UNA MATRIZ

MENOR COMPLEMENTARIO DE UNA MATRIZ

A la matriz que resulta de suprimir una fila i con una columna j se le da el nombre de menor complementario.

 

Acá suprimimos la fila 2 y la columna 2. 

(Método que utilizamos para hallar la adjunta)

INVERSA DE UNA MATRIZ

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad.    A A^-1 = A^-1 A = I

Fórmula para hallar la inversa

 

Pasos para hallar la inversa

1. Hallar el determinante del sistema y que no sea cero
2. Hallar la transpuesta de la matriz 
3. Hacer la matriz adjunta(por menor complementario)
4. Resolver cada determinante 

RANGO DE UNA MATRIZ

Rango significa el número de filas y columnas que son linealmente independientes.

POR DETERMINANTES

Sólo para matrices cuadradas. El rango máximo es el número de filas.

Ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz

Lo primero que hacemos es calcular el determinante del sistema matricial, lo calcularemos por Sarrus

((1*2*2)+(-1*1*0)+(3*-4*1))-((0*2*1)+(1*-4*1)+(3*-1*2)) =2

Como el determinante da diferente de cero se deduce que el rango es 3, esto significa que los tres vectores tanto por filas como por columnas no son proporcionales ni coplanarios.

POR GAUSS

Se puede descartar una fila cuando:

• Todos sus coeficientes son cero
• Hay dos líneas iguales
• Una línea es proporcional a otra

Ejemplo: 

Calcular el rango de la siguiente matriz

Como se observa si multiplicamos la fila 1 por 2 será igual a la línea 1 por ello esta se descarta. La idea es tratar de hacer la mayor cantidad de filas a cero y el rango serán las filas que queden. En este caso es 2.

VECTORES

Un vector se denota con letras minúsculas y con una flecha en la parte superior  A es el punto de origen y B es el punto final o extremo.                                                                                                 

Un vector esta formado por la dirección (la flecha indica la dirección del vector), la longitud determina su magnitud y el sentido.

Todo vector puede ser colocado en posición estándar  es decir, saliendo del origen, para ello se restan los vectores.

A= [-1,2] ,  B=[3,4]

 estándar  =  B - A ----> [3-(-1),4-2] =  = [4,2]

Vector en R2

Son vectores en dos dimensiones x,y.

Vector en R3

Son vectores en tres dimensiones normalmente x,y,z.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Ejemplo en R2

Ejemplo en R3

Para sumar vectores se usa gráficamente:

• Método del paralelogramo: Se trazan los dos vectores que normalmente comienzan en el origen, se trazan paralelas a ambos vectores y por último se unen los dos extremos como vemos a continuación.
• Método del triangulo: Para este método se ubica el primer vector, y donde este termina se dibuja el otro vector, luego estos se unen en un sólo vector.

Para la resta de vectores por el método del paralelogramo es ubicar el segundo vector donde termina el primero

PRODUCTO PUNTO

También llamado punto escalar. Este nos ayuda a identificar si 2 vectores son ortogonales es decir perpendiculares, si la operación da cero si son ortogonales.

Ejemplo

Hallar el producto punto de los siguientes vectores U = [1,2,-3] y V = [-3,5,2]

U * V = [1,2,-3] * [-3,5,2]

U * V = [1*-3+2*5+-3*2] -----> [-3+10+-6] -------> U * V = 1

LONGITUD O NORMA

Es la distancia entre el punto final y el origen.

Ejemplo

Dados los puntos A(8,-2) y B(-3,-4) hallar la magnitud y la orientación del vector


Primero normalizo y para ello estandarice;

Normalizando:

Para saber la orientación busco el angulo

ÁNGULOS DE DOS VECTORES

El ángulo entre dos vectores V y U se determina mediante el producto escalar entre ellos. 

Ejemplos:

Hallar el ángulo de los siguientes vectores

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(−1,−1).