sábado, 5 de abril de 2014

Sistemas de Ecuaciones Lineales


 
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí ni en el denominador.

Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.








Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:


a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1

a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2

am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm


En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes.


Sistemas con dos incógnitas



Los sistemas más sencillos son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones.

* Reducción * Igualación * Sustitución


Ejemplos


Con el siguiente conjunto de ecuaciones verifique las posibilidades. Este no lo hicimos en clase, analizarlo.

ax + 3y = 5

2x − y = 6


ax+3y = 5

6x-3y =18

ax+6x =23


Por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos una ecuación del tipo 0 = 23, es decir, imposible. Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.
x = 23 / (6+a) si a <> de −6, el sistema es compatible determinado.

Ejemplos aplicativos

¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1000 cada uno,   deben mezclarse con 6 kilogramos de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo?

Una florista vende un arreglo con dos docenas de flores en $750.  El ramo está formado por rosas cuyo precio es de $500 la docena,  y de claveles a $300 la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo? Sugerencia: llama x al número de rosas, y 24x al número de claveles.

Matrices

TIPOS DE MATRICES








SUMA: Las matrices deben de ser del mismo tamaño, y se hace uno a uno

RESTA: Es una suma haciendo la opuesta de la segunda matriz (La opuesta es cambiar el signo a todos los elementos de la segunda matriz)

MULTIPLICACIÓN: La segunda matriz debe de tener la misma cantidad de columnas que de filas de la primera matriz. Se debe tener en cuenta el orden de la matriz resultante. 



Taller

Método de Sarrus, Cramer y Determinante

 
MÉTODO DE CRAMER O DETERMINANTES


El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. El determinante de una matriz debe ser diferente de cero. El signo se denomina determinante.






Otra forma de calcular el determinante es por el método de Sarrus (cofactores), es seguir la siguiente operación en la matriz.


Los dos ejemplos que se hacen a continuación utilizan el método Sarrus.


Ejemplo # 1


Ejemplo # 2






















Método Gauss

GAUSS(Para solucionar ecuaciones de 3*3 ó más)


En la dirección anterior encontraran un tutorial que les dará pautas para identificar cuando un sistema de ecuaciones es homogéneo, con solución única, con infinidad de soluciones o sin solución.

INVERSA DE UNA MATRIZ

MENOR COMPLEMENTARIO DE UNA MATRIZ

A la matriz que resulta de suprimir una fila i con una columna j se le da el nombre de menor complementario.

menor complemtario 

Acá suprimimos la fila 2 y la columna 2. 
(Método que utilizamos para hallar la adjunta)

INVERSA DE UNA MATRIZ

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad.    A A-1 = A-1 A = I


Fórmula para hallar la inversa

The inverse of a nxn matrix 
Pasos para hallar la inversa

  1. Hallar el determinante del sistema y que no sea cero
  2. Hallar la transpuesta de la matriz 
  3. Hacer la matriz adjunta(por menor complementario)
  4. Resolver cada determinante 

RANGO DE UNA MATRIZ


Rango significa el número de filas y columnas que son linealmente independientes.

POR DETERMINANTES

Sólo para matrices cuadradas. El rango máximo es el número de filas.

Ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz

Lo primero que hacemos es calcular el determinante del sistema matricial, lo calcularemos por Sarrus
((1*2*2)+(-1*1*0)+(3*-4*1))-((0*2*1)+(1*-4*1)+(3*-1*2)) =2

Como el determinante da diferente de cero se deduce que el rango es 3, esto significa que los tres vectores tanto por filas como por columnas no son proporcionales ni coplanarios.

POR GAUSS


Se puede descartar una fila cuando:

  • Todos sus coeficientes son cero
  • Hay dos líneas iguales
  • Una línea es proporcional a otra

Ejemplo: 

Calcular el rango de la siguiente matriz

Como se observa si multiplicamos la fila 1 por 2 será igual a la línea 1 por ello esta se descarta. La idea es tratar de hacer la mayor cantidad de filas a cero y el rango serán las filas que queden. En este caso es 2.






VECTORES

Un vector se denota con letras minúsculas y con una flecha en la parte superior  A es el punto de origen y B es el punto final o extremo.                                                                                                 

Un vector esta formado por la dirección (la flecha indica la dirección del vector), la longitud determina su magnitud y el sentido.

Todo vector puede ser colocado en posición estándar  es decir, saliendo del origen, para ello se restan los vectores.

A= [-1,2] ,  B=[3,4]

 estándar  =  B - A ----> [3-(-1),4-2] =  = [4,2]


Vector en R2

Son vectores en dos dimensiones x,y.

Vector en R3

Son vectores en tres dimensiones normalmente x,y,z.

SUMA Y RESTA DE VECTORES


Ejemplo en R2



Ejemplo en R3




Para sumar vectores se usa gráficamente:

  • Método del paralelogramo: Se trazan los dos vectores que normalmente comienzan en el origen, se trazan paralelas a ambos vectores y por último se unen los dos extremos como vemos a continuación.
  • Método del triangulo: Para este método se ubica el primer vector, y donde este termina se dibuja el otro vector, luego estos se unen en un sólo vector.

Para la resta de vectores por el método del paralelogramo es ubicar el segundo vector donde termina el primero


PRODUCTO PUNTO

También llamado punto escalar. Este nos ayuda a identificar si 2 vectores son ortogonales es decir perpendiculares, si la operación da cero si son ortogonales.



Ejemplo


Hallar el producto punto de los siguientes vectores U = [1,2,-3] y V = [-3,5,2]

U * V = [1,2,-3] * [-3,5,2]

U * V = [1*-3+2*5+-3*2] -----> [-3+10+-6] -------> U * V = 1

LONGITUD O NORMA


Es la distancia entre el punto final y el origen.

Ejemplo


Dados los puntos A(8,-2) y B(-3,-4) hallar la magnitud y la orientación del vector


Primero normalizo y para ello estandarice;

Normalizando:


Para saber la orientación busco el angulo




ÁNGULOS DE DOS VECTORES


El ángulo entre dos vectores V y U se determina mediante el producto escalar entre ellos. 


Ejemplos:

Hallar el ángulo de los siguientes vectores



Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(−1,−1).